Math Monday: A Base Beyond - 💡 Fix My Ideas

Math Monday: A Base Beyond

Math Monday: A Base Beyond


Autore: Ethan Holmes, 2019

Una via per la scoperta matematica consiste nel cambiare le caratteristiche o i parametri di qualcosa che è ben compreso, per vedere cosa succede quando variano. Ad esempio, abbiamo incorporato le trappole nel nostro contatore binario e quelle trappole hanno consentito un adeguamento del numero di biglie che avrebbero archiviato prima dell'attivazione. La regolazione della capacità della trappola ha portato a una nuova struttura matematica: il sistema dei numeri ternari.

In realtà costruendo la macchina modificata, abbiamo introdotto un nuovo componente, lo scappamento. Quindi ora siamo nella posizione di chiederci: perché limitarci a portare solo una palla? Infatti, James Tanton, e il Global Math Project che ha organizzato, stanno chiedendo alle persone di tutto il mondo questo mese: cosa potrebbe accadere se portassimo due palle ogni volta che uno dei nostri valori di luogo trabocca? (Si noti che Jim Propp, che sentiremo di più in seguito, ha suggerito questa domanda a Tanton negli anni '90). Una semplice modifica al nostro contatore / addetto ternario illuminerà fisicamente quella stessa domanda.

Vale a dire, tutto ciò che dobbiamo fare è modificare ogni scappamento in modo che contenga due palline, anziché una. In questo modo, quando la sua trappola associata si innesca, rilascerà due palle alla prossima trappola. E la modifica necessaria allo scappamento è quasi banale: basta spostare lo stop in modo che ci sia spazio per esattamente due palle nel braccio dello scappato, come puoi vedere in questo scatto (nota che la linguetta è stata temporaneamente rimossa per consentire l'accesso alla fermata).

Tranne che per la riponderazione degli scappamenti in modo che siano quasi bilanciati quando tengono due palle, è tutto ciò che deve essere fatto. Quindi, ecco un'immagine della macchina per il conteggio completamente modificata, con tutti i depositi di marmo trasportato.

Sembra praticamente identico al contatore ternario (puoi semplicemente notare il fatto che ci sono due biglie negli scappamenti), ma si comporterà in modo diverso. Vediamolo in azione.

Cosa sta succedendo esattamente qui? Chiaramente, la macchina è, in un certo senso, contando. Entra in uno stato diverso con ogni palla aggiunta, in termini di quante biglie ci sono in ciascuna trappola. E nessuno degli stati si ripete (almeno non prima che la macchina trabocchi sul 24 ° marmo aggiunto), quindi otteniamo una rappresentazione diversa per ogni numero intero non negativo. Se riesegui il video e tieni traccia, puoi produrre la seguente tabella delle rappresentazioni:

Numero Stato Numero Stato
0 0 12 2120
1 1 13 2121
2 2 14 2122
3 20 15 21010
4 21 16 21011
5 22 17 21012
6 210 18 21200
7 211 19 21201
8 212 20 21202
9 2100 21 21220
10 2101 22 21221
11 2102 23 21222

Come possiamo dare un senso a questo nuovo sistema numerico? Bene, cos'è che ha fatto rappresentare una palla nella seconda trappola nel nostro contatore ternario? Era il fatto che per ogni tre palle che andavano nella prima trappola, veniva aggiunta una palla alla seconda trappola. Da quando due palle vengono aggiunte alla seconda trappola quando questo accade, sembrerebbe che forse le palle nella seconda trappola valgono solo la metà di quelle che si trovano nel contatore ternario. In altre parole, potrebbe essere che una palla nella seconda trappola rappresenti 3/2, o una e mezza?

In effetti, se si guardano le rappresentazioni sopra, si vede ad esempio che lo stato corrispondente a 4 è "21". Se lo interpretiamo come 2 × (3/2) + 1, esce correttamente a 4!

Quindi cosa dovrebbe rappresentare un marmo nella terza trappola? Bene, tre delle biglie del valore di 3/2 ciascuna, o 9/2 in tutto, rilasceranno due biglie nella terza trappola, quindi dovrebbero valere entrambe la metà del 9/2 o del 9/4. Di nuovo, questo funziona con le rappresentazioni sopra: 7 è uguale a 2 × (9/4) + 1 × (3/2) + 1.

E notate, non per caso, che 9/4 è il quadrato di 3/2. Puoi verificare nello stesso modo in cui le biglie nella quarta trappola valgono il cubo di 3/2 o 27/8. Le biglie nella quinta trappola (quella più in basso in questa macchina) valgono la quarta potenza di 3/2 o 81/16. Di nuovo, ad esempio, 23 = 2 × (81/16) + (27/8) + 2 × (9/4) + 2 × (3/2) + 2.

In altre parole, questa macchina sta contando in base 3/2. Strano - potrebbe non sembrare nemmeno che dovrebbe essere possibile avere basi frazionarie. Dopotutto, non tutti i numeri possibili nella base 3/2 rappresentano un numero intero. Ad esempio, "11" in questo sistema significherebbe due e mezzo, quindi non lo raggiungeremo mai contando per uno. Ma l'esistenza di questa macchina dimostra, in sostanza, che esiste un numero per ogni numero intero (puoi immaginare di aggiungere più strati di scappamenti e trappole per gestire numeri più alti).

Per fortuna, c'è una radice latina sesqui- che significa esattamente "una volta e mezza", per esempio, cerca la parola "sesquicentenario". Così, estendendo il nostro lavoro sulle macchine di conteggio / aggiunta binarie e ternarie, abbiamo scoperto il sistema di numeri sesquinari.

In tal modo, siamo inciampati sul bordo di una matematica molto intrigante e profonda. Si noti, ad esempio, che partendo con il numero per tre, ogni numero sesquinario inizia con la cifra 2. E ogni numero da sei inizia con le cifre 21. Le prime tre cifre si stabilizzano in questo modo, o no? Che cosa noti della sequenza di cifre nel posto più a destra mentre conti? Nel secondo a destra? Altri posti? Si noti che le ultime tre cifre di ciascuno di questi numeri sono diverse; in altre parole, è possibile riconoscere quale numero intero positivo un numero sesquinary inferiore o uguale a 21222 rappresenta solo dalle sue ultime tre cifre, anche se il numero effettivo ha più di tre cifre. Quanto dura? C'è un fenomeno simile con le ultime quattro cifre?

Ci sono molti altri schemi da notare e domande da porre su questo sistema numerico; puoi trovare molti altri che James Tanton suggerisce nella Parte 9 del suo corso su "Exploding Dots", o scoprire i tuoi. (Se leggi questo corso, puoi interpretare ciò che stiamo facendo da quattro settimane costruendo realizzazioni fisiche delle macchine a punti che esplodono che Tanton usa come esperimenti mentali.) Ma poiché questa è una colonna sulla creazione di macchine matematiche reali, Chiudo con un po 'di più sul contatore sesquinary.

Potresti chiederti se è importante quale ordine si attivano i trap in questa macchina o quando vengono aggiunte le biglie, perché contino correttamente. Si scopre, salvo eventuali malfunzionamenti, che non lo fa; puoi ragionare sul perché, se rifletti un po ', o controllare gli Incantesimi Matematici di Jim Propp per ulteriori informazioni su questo argomento. In ogni caso, per dimostrarlo fisicamente, rilasciamo 13 biglie contemporaneamente nella trappola più alta e vediamo cosa succede:

Voilà, si stabilisce nello stato 2121 - la rappresentazione sesquinaria di 13 - proprio come quando abbiamo aggiunto le biglie una alla volta. Si noti che per fare in modo che funzioni, ho dovuto aggiungere anche una tabulazione alla prima trappola, per evitare che un extra di marmo entrasse di soppiatto quando la trappola fa uscire tre biglie. Infatti, poiché la macchina trasferisce due biglie alla trappola successiva ogni volta che trasporta, e quella trappola potrebbe avere già due biglie, l'intera macchina funzionerebbe in modo più affidabile se tutte le trappole avessero una scheda su di esse, facendole entrare anche scappamenti a tre marmi.

Comunque, questo è tutto per questa serie su macchine per marmo matematiche. Se costruisci le tue macchine di marmo, o scopri nuovi modelli in numeri sesquinari, fammelo sapere a [email protected] Come colpo di addio, ecco un'immagine di una macchina aggiunta sesquaria su larga scala che ho costruito per un discorso che Jim Propp ha dato l'ultima conferenza MOVES, e che Propp ha soprannominato SESQUIAC:



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